يدعي الكثير من الناس أنهم لا يمتلكون "عقلًا رياضيًا". ولكن في الحقيقة، يفكر علماء الرياضيات بشتى طرق التفكير. إذ ليس ثمة طريقة واحدة صحيحة للتفكير الرياضي -وهو ما يخلق بعض صعوبات التواصل، إذا ما حاول شخص يفكر بصورةٍ بصرية، تبادل الأفكار مع شخص آخر يتبنى أسلوب المعادلات. وهو أسلوب قوي أيضًا، ولكن إذا وجدت أنه من الصعب استيعاب مسألة رياضية، فربما يستحق الأمر النظر إليه من جانب مختلف.

لنأخذ الأشكال البيضاوية -القطع الناقص- على سبيل المثال. إذا نظرت حولك، فغالبًا ما سترى شكلًا بيضاويًا، مثل حافة كوب القهوة. هناك طرق عديدة للتفكير في الأشكال البيضاوية. إليك جولة إرشادية سريعة للتعرف على كيفية تكوين علماء الرياضيات على اختلافهم لوجهات نظر مختلفة.

التفكير العملي

يمكنك بنفس الطريقة التي تستخدم فيها عصًا وخيط في رسم دائرة منتظمة، حيث تقع أي نقطة على حافة الدائرة على نفس المسافة من مركز الدائرة، أن تستخدم أيضًا عصي وحلقة من الخيط في رسم شكل بيضاوي. لفعل ذلك، اغرس عصوان في الأرض، ثم ضع حلقةً من الخيط حولهما، ثم استخدم عصًا ثالثة لشد حلقة الخيط بإحكام. ومن ثم، اسحب العصا الثالثة حول الأخريان مع شد حلقة الخيط لرسم شكل بيضاوي. كلما كان الخيط مشدودًا، فسوف تتحرك العصا الثالثة في شكلٍ بيضاوي – باستطاعتك الشعور بمدى الشد في الخيط الذي يتحكم في الحركة.

يوفر الرسم العملي للشكل البيضاوي طريقة مقنعة للشعور به

التفكير البصري

تنتمي الأشكال البيضاوية إلى عائلة منحنيات تُسمى "القطوع المخروطية". وهي تلك الأشكال المنحنية التي نحصل عليها بأخذ شطر عرضي لمخروط أجوف بزوايا مختلفة. هناك أنواع مختلفة من القطوع المخروطية، مثل الشكل البيضاوي -القطع الناقص-، والدائرة، وهما اثنين من الأشكال (أو ربما شكل واحد، لأن الدائرة تُعد نوعًا خاصًا من الأشكال البيضاوية)، ولكن يمكننا أن نحصل أيضًا على شكل القطع المكافئ، والقطع الزائد.

وبهذه الطريقة البصرية في التفكير في الأشكال البيضاوية، يمكننا اعتبارها أحد أفراد عائلة المنحنيات فحسب. وحينها يمكننا فهم القطوع المخروطية بشكل عام، ثم نتطرق لفهم الأشكال البيضاوية بعد ذلك. يتضمن ذلك الأمر استثمارًا مُسبقًا للوقت، لكنه يؤتي ثماره فيما بعد عندما تتكون لدينا نظرية عامة يمكن تطبيقها على أنواع مختلفة من المنحنيات بدلًا من نوع واحد فقط.

التفكير عن طريق الكلمات

لا يفضل الجميع طريقة التفكير البصري، حتى فيما يتعلق بالأفكار الهندسية. قد يُفضل بعض الأشخاص التفكير في المفاهيم الرياضية من خلال الكلمات، أو قد يكون أكثر ملائمةً بالنسبة له التعامل مع أفكار محددة من خلال الكلمات. يُفاجأ طلابنا الجامعيين الدارسين للرياضيات في كثير من الأحيان عندما يصلون إلى مرحلة التعليم الجامعي بحجم الكلمات التي نتوقع أن نجدها في إجاباتهم. غالبًا ما يكون الوصف الأفضل للبراهين الرياضية عبر الجمل التي تسرد قصة متسلسلة مترابطة، مع تضمين المعادلات والرسوم في الأماكن المناسبة.

لقد وصفنا الأشكال البيضاوية بطرق مختلفة في هذا المقال، وقد تبين أن هناك أشكالا مختلفة للقطع الناقص، لذا، لابد أن نتساءل عن كيفية التأكد من أن كل ذلك يصف نفس النوع من الأشكال المنحنية. كما قد نرغب أيضًا في تفصيل بعض هذه الأوصاف على نحو أكثر دقة.

تتمثل الخاصية المُميزة للقطع الناقص، بالنسبة لكل نقطة عليه، في أن مجموع المسافتين بين أي نقطة على حافة الشكل والنقطتين المركزيتين (العصوان المُستخدمان في رسم الشكل) ثابتة. يمكننا شرح ذلك بشيء من التفصيل: يُعد القطع الناقص على شكل منحنى يلتف متمركزًا حول نقطتين محوريتين، بحيث يكون مجموع المسافتين بين هاتين النقطتين، وأي نقطة على حافة المنحنى ثابتة. ربما يكون هذا الوصف كافيًا لبعض الأغراض، إلا أن البعض قد يحاول تفسير هذا الوصف بصريًا، أو تجربته عمليًا للوقوف على مدى ارتباط هذا الشكل بقطع ناقص معين، أو تحويل هذا الوصف إلى معادلة.

التفكير الجبري

يفضل البعض تحويل المسائل الهندسية إلى مسائل جبرية. وهو ما يقودنا إلى أنواع مختلفة من الأفكار. قد يفهم الشخص الذي يحب التفكير بالرموز فكرة القطع الناقص بالقول إن PS + PS’= C (حيث تكون قيمة C ثابتة).

لا ينتهي الأمر على هذا النحو، إِذْ أن الدائرة المرسومة على نظام إحداثي مركزه صفر، ونصف قطره 1، تكون معادلته x2 + y2 = 1. لكن القطع الناقص يختلف عن ذلك، لأن المسافة بين المركز والحافة ليست ثابتة في معظم الأشكال البيضاوية. إذ يوجد اختلاف بين قيمتين (a وb في الشكل الموضح).

يُحدد البعدان a و b مدى حجم وتقعر الشكل البيضاوي، ويقدم لنا معادلة القطع الناقص على النحو التالي: (x/a)2 + (y/b)2 = 1. وهي المعادلة التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمعادلة الدائرة – إِذْ يمكننا الحصول على قطع ناقص من خلال استطالة أو تمديد الدائرة. وهذه هي الكيفية التي حصلنا بها على المعادلة السابقة.

يمكن أن تكون معادلات المنحنيات مفيدة بالفعل في استكشاف العلاقات مع الأشكال الهندسية الأخرى ذات المعادلات البسيطة. فعلى سبيل المثال، لمعرفة النقاط التي يتقاطع فيها خط ما مع شكل القطع الناقص، يمكننا كتابة المعادلات الخاصة بكل منهما، وحلها للحصول على إحداثيات التقاطع.

فكر بطريقتك الخاصة

إن العثور على طريقتك الخاصة في التفكير في المفاهيم الرياضية أمر غاية في الأهمية – سواء كنت تعتمد في ذلك على العد على الأصابع، أو الرسم، أو قول أشياء بصوت مرتفع. غالبًا ما يؤدي لإحراز التقدم في دراسة الرياضيات بفضل توصل أحدهم إلى طريقة جديدة لتفسير الفكرة.

لجميع علماء الرياضيات طرقهم المفضلة الخاصة في التعامل مع المعضلات الرياضية، إِذْ يُفضل البعض وبشكل غريزي نهجًا معينًا على آخر – والذي ربما يكون قد ترسخ لديه سلوكيًا، أو حقق من خلاله نجاحًا سابقًا بعد أن واجه مصاعب مع نهج آخر. وربما يكون علماء الرياضيات الأكثر نجاحًا، أولئك الذين يستطيعون التنقل بسلاسة بين النهج المختلفة، لأن بعض الاستراتيجيات تأتي بنتيجة أفضل من غيرها في أي معضلة رياضية مطروحة.