تحليل القوس التكعيبي: دليل شامل مع أمثلة وحلول تفصيلية

في عالم الرياضيات، تعتبر القدرة على تحليل وفك الأقواس التكعيبية مهارة أساسية. الأقواس التكعيبية تظهر في العديد من المعادلات الرياضية والهندسية، وفهم كيفية التعامل معها يفتح الباب لحل مسائل أكثر تعقيدًا. هذا المقال يقدم شرحًا مبسطًا وشاملاً لطريقة تحليل الأقواس التكعيبية، مع أمثلة متنوعة وحلول تفصيلية.

طريقة تحليل القوس التكعيبي

القوس التكعيبي هو تعبير رياضي يتكون من حدين أو أكثر، مرفوعًا للقوة 3، وعادة ما يكون على الصورة (أ ± ب)³. تحليل القوس التكعيبي يعني ضرب كثير الحدود بنفسه ثلاث مرات: (أ ± ب)³ = (أ ± ب) × (أ ± ب) × (أ ± ب). للقيام بذلك، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة الأولى: ضرب أول قوسين

نبدأ بضرب أول قوسين ببعضهما البعض باستخدام خاصية التوزيع:

• (أ + ب) × (أ + ب) = أ² + 2×أ×ب + ب²
• (أ - ب) × (أ - ب) = أ² - 2×أ×ب + ب²

الخطوة الثانية: ضرب الناتج في القوس الثالث

ثم نضرب الناتج من الخطوة السابقة في (أ + ب) مرة أخرى:

(أ + ب) × (أ² + 2×أ×ب + ب²) = أ³ + 3×أ²×ب + 3×أ×ب² + ب³

القاعدة العامة لتحليل القوس التكعيبي

بناءً على الخطوات السابقة، يمكننا استخلاص القواعد التالية:

• (أ + ب)³ = أ³ + 3أ²ب + 3أب² + ب³
• (أ - ب)³ = أ³ - 3أ²ب + 3أب² - ب³

أمثلة على تحليل القوس التكعيبي

لتوضيح طريقة تحليل القوس التكعيبي، إليك بعض الأمثلة:

• المثال الأول: حلّل (س + 1)³

  الحل: بتطبيق القاعدة، يكون التحليل: س³ + 3س² + 3س + 1

• المثال الثاني: حلّل (أ - 2ب)³

  الحل: بتطبيق القاعدة، يكون التحليل: أ³ - 6أ²ب + 12أب² - 8ب³

• المثال الثالث: بسّط (س + ص)³ + (س - ص)³

  الحل:

  • (س + ص)³ = س³ + 3س²ص + 3سص² + ص³
  • (س - ص)³ = س³ - 3س²ص + 3سص² - ص³
  • (س + ص)³ + (س - ص)³ = 2س³ + 6سص²

• المثال الرابع: حلّل (2س + 1)³

  الحل: بتطبيق القاعدة، يكون التحليل: 8س³ + 12س² + 6س + 1

• المثال الخامس: حلّل (2س - 3ص)³

  الحل: بتطبيق القاعدة، يكون التحليل: 8س³ - 36س²ص + 54سص² - 27ص³

الفرق بين القوس التكعيبي والفرق بين مكعبين

يجب التمييز بين تحليل القوس التكعيبي (أ ± ب)³ وتحليل الفرق بين مكعبين (أ³ - ب³) أو مجموع مكعبين (أ³ + ب³). تحليل الفرق بين مكعبين ومجموع مكعبين يتم باتباع القواعد التالية:

• الفرق بين مكعبين: (أ³ - ب³) = (أ - ب)(أ² + أب + ب²)
• مجموع مكعبين: (أ³ + ب³) = (أ + ب)(أ² - أب + ب²)

أمثلة على الفرق بين مكعبين ومجموع مكعبين

• مثال: حلّل (س³ - 8)

  الحل: (س - 2)(س² + 2س + 4)

• مثال: حلّل (27ص³ + س³)

  الحل: (3ص + س)(9ص² - 3سص + س²)

الخلاصة

تحليل القوس التكعيبي هو مهارة رياضية أساسية تتطلب فهمًا للقواعد وتطبيقًا دقيقًا للخطوات. من خلال الأمثلة المتنوعة والحلول التفصيلية، يمكن للقارئ اكتساب الثقة في التعامل مع هذه الأنواع من المسائل الرياضية. تذكر دائمًا التمييز بين تحليل القوس التكعيبي وتحليل الفرق أو المجموع بين مكعبين لتجنب الأخطاء.